Formules touristiques

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Un tour opérateur en ligne propose, pour une même destination, deux formules :

• la formule « Culture » qui comprend, entre autres, la visite des plus importants musées et monuments de la région ainsi que des sorties culturelles (concerts, théâtre) ;
  
• la formule « Nature » qui comprend, entre autres, des excursions et des visites de sites d’intérêt naturel (lacs, volcans, réserves naturelles).

Indépendamment de la formule choisie, il est possible de rajouter une option « 1^re classe ». Le responsable du tour opérateur a remarqué que :

• sur les \(120\) clients ayant choisi cette destination l’an dernier, \(40\; \%\) ont choisi la formule Culture et, parmi ceux-ci, \(18\) ont pris l’option 1^re classe ;
  
• parmi ces \(120\) clients, on en compte \(36\) ayant choisi l’option 1^re classe.
  

1. Recopier et compléter le tableau d’effectifs ci-dessous.

2. On choisit un client au hasard parmi les \(120\) ayant choisi cette destination et on définit les événements suivants :

• \(\text{C}\) : « le client a choisi la formule Culture » ;
• \(\text{N}\) : « le client a choisi la formule Nature » ;
• \(\text{O}\) : « le client a pris l’option 1^re classe ».

Les probabilités demandées seront données sous forme décimale.
    a. Donner la probabilité \(P(\text{C})\), puis en déduire la valeur de \(P(\text{N})\).
    b. En utilisant la notation qui convient, calculer la probabilité de choisir un client ayant pris l’option 1^re classe parmi ceux qui ont choisi la formule Culture.
    c. Interpréter par une phrase \(P_\text{N}(\text{O})\), puis justifier que \(P_\text{N}(\text{O})=0{,}25\).

3. On admet que la probabilité qu’un client prenne l’option 1^re classe est \(P(\text{O})=0{,}3\). On choisit trois clients au hasard (on assimile ce choix à un tirage aléatoire avec remise) et on note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant pris l’option 1^re classe parmi les trois.
Décrire par une phrase l’événement \(\{X=0\}\), puis calculer sa probabilité.